книги / Электроника электрофизические основы, микросхемотехника, приборы и устройства

ме (рис.2.9,б). Уравнения схемы RnI6 + R J 3 = Vn - U* и /э = 1б + /к =(l+p)/6

позволяют записать выражения токов базы / б = (к)2 - U*)/[Rn + Æ3(l + Р)]

иколлектора /к = р/6, с помощью которых вычислить все напряжения.

Вусилителях наряду с источниками электропитания, задающими режим по постоянному току, действуют малые возмущения (сигналы и по­ мехи), вызывающие небольшие изменения токов (напряжений), которые рассчитывают с помощью малосигнальных (локальных) моделей элемен­ тов. Анализ схемы при малых значениях сигналов позволяет определить статические параметры преобразователя: коэффициенты передачи, вход­ ное и выходное сопротивления. Расчет линеаризованной схемы выполняют

впредположении, что переменная составляющая Дм не влияет на режим по постоянному току.

Локальную модель нелинейного элемента замещения получают раз­ ложением характеристики вблизи точки покоя в ряд Тейлора с сохранени­ ем только линейного слагаемого. Например, линеаризация статических

входных wfo(/6,ию) и выходных /к(/б, 0 характеристик биполярного транзистора дает соотношения для приращений токов и напряжений:

д и6э = hu A i6 + hl2A u m ,AiK= А21Д/6 + h22A un ,

гДе Ли = (d u jd i6\ =r, h22 =(«d i j d u \ - g -	входное сопротивление и вы­
ходная проводимость; ^ =(diK/di6\ = Р,	=(ди63/дикэ\ =\х - коэффици­

енты передачи напряжения и тока в линейном режиме.

Для расчета малосигнальных усилительных характеристик каскада ОЭ на БТ (рис.2.10,а) транзистор можно заменить линейным четырехпо­ люсником.

С,

Мвх

V

д) _

Рис.2.10. Усилительный каскад (а) и его эквивалентная схема (б)

При построении эквивалентной схемы (рис.2.10,6) учтены соотно­ шения правильно спроектированного усилителя:

•емкостные сопротивления в среднечастотном диапазоне измене­ ния переменных составляют незначительную величину и могут быть закорочены;

•источник постоянного напряжения V для переменных составляю­ щих также представляет короткое замыкание.

В результате преобразований в эквивалентной схеме получаются со­ противления Rn = RlR2/ ( R l + R2) и R2 =RKRll/(RK+RH)- Переменный сш нал задается источником напряжения Au с внутренним сопротивлением /?и Переменный входной сигнал может быть, например, синусоидаль иым Аи = u(t) =Ums\ïUùt>и все приращения токов и напряжений буду*

синусоидальными функциями времени с различными амплитудами (дей ствующими значениями) и нулевыми начальными фазами. Уравнения для эквивалентной схемы записываются для алгебраических величин, отра жающих соответствующие действующие значения токов и напряжений Даже для простых схем с п ветвями число 2п уравнений получается доста точно большим, что может затруднить их аналитическое решение.

Число совместно решаемых уравнений можно уменьшить на основе алгебраических преобразований системы уравнений, сопровождаемых преобразованием эквивалентной схемы. В результате преобразования для приведенной схемы несложно записать:

( К +r)It + Я ,(/6 + / 2 ) = URa /(Rl2 +R J :

/^ /e + гж(/2 - p / e) + /г,(Ув + / 2) = о, где rg =1/g, Rn = R j ( R n + R J .

Решение приведенных уравнений определяет токи и напряжения, с помощью которых вычисляют параметры каскада: коэффициенты переда­

чи напряжения К и = [/2//7,,тока К '= 1 6/1 29 мощности		К р = К иК' и
входное сопротивление	= U jl6. Достаточно громоздкие	выражения с
учетом типичных значений номиналов элементов /^2		и г >(/^ + ^ )

можно заменить приближенными соотношениями для токов и напряжений / 2 - р/6, /6 = U/(R I2 +Ф +1)/гД U, = R J 6= (г + RJР+1)), U2= -R 212.

В результате искомые параметры каскада можно определить приближенно по формулам: К и = - р R2/ Rm , К' =P , Rn =r +R3(P +1).

Существенное снижение порядка системы уравнений на этапе их со­ ставления обеспечивается выбором в качестве переменных потенциалов узлов, т.е. напряжений всех узлов относительно базисного (метод узловых напряжений). Токи ветвей выражают через найденные из решения уравне­ ний напряжения. Уравнения узловых потенциалов имеют типовую форму записи для схемы с (q+1) узлами:

&|ф|+&2<Р2 +••••+ gu<Pk+— + gh!% = 'J Ï ; k = ü i ,

где g** - собственная проводимость узла к, равная сумме проводимостей ветвей, подключенных к узлу к\ gyk - взаимная проводимость между узлами к и /, взятая со знаком минус; Jk- ток источника, подключенного к узл> • Число узлов схемы обычно существенно меньше числа ветвей, и уз­ ловые уравнения являются весьма экономичными. Их применяют в ма­

шинных программах численного моделирования цепей в силу регулярно­ сти формирования при вводе информации о каждой ветви (узлы подклю­ чения, состав и номиналы элементов), что обеспечивает возможность эф­ фективного контроля правильности вводимых данных.

Проиллюстрируем расчет с помощью узловых уравнений статических параметров усилительного каскада на МОП-транзисторе с встроенным ка­ налом (рис.2.11,л).

Рис. 2.11. Усилительный каскад по схеме ОИ (д), характеристика МОП-транзистора (б), малосигнальная модель каскада (в)

Расчет каскада по постоянному току с использованием проходной характеристики дает ток /0 (рис.2Л 1,6). Аппроксимация характеристик транзистора в окрестности рабочей точки позволяет вычислить параметры gM=dic/du2Kи gK=diç/duCH и построить линеаризованную эквивалентную схему каскада (рис.2.10,в). Для параметров схемы справедливы соотноше­ ния r3» R\ и гк=(1/^к)> Яс, из которых следует Ai3= 0 и Д*и = Aic.

При синусоидальном входном сигнале для действующих значений не­ сложно записать узловые уравнения

( g , + G C)<р2 - g K<p3 = - g mU m = - g M(cp, — Фз),

- gK+ (g* + )Фз = ër,(<Pi - Фз)*

причем в силу условия г3—> оо имеем cpi = U\. Из решения уравнений с уче­ том соотношения (/^ + Rc) « гк(1 + gmRv) коэффициент усиления напряже­

ния каскада описывается простой формулой K ü = - g mR j(\ +gmR„).

Большое входное сопротивление	Rm = Д, + г3 = г3 обусловило высо­
кий коэффициент усиления тока К 1	=gmr3/(\ + g ^ J n p u сравни­

тельно небольшом усилении напряжения. Усиление мощности также по­ лучается значительным.

Резистивные модели находят ограниченное применение. Реальные элементы электронных устройств имеют, как правило, нелинейные харак­ теристики и, кроме того, обладают инерционными свойствами. Это приво­ дит к наличию искажений электрических сигналов при их преобразовании электронным устройством.

2.3. Динамические характеристики элекгронных устройств

Элементы электронных цепей, описываемые нелинейными диффе­ ренциальными соотношениями между напряжениями и токами, функцио­ нируют при воздействии сложных управляющих сигналов. Анализ неста­ ционарных (переходных) процессов при динамических режимах работы электронных устройств базируется на составлении и решении системы не­ линейных дифференциальных уравнений цепи.

При анализе работы электронных приборов, принцип действия кото­ рых основан на нелинейных эффектах (генераторы, модуляторы, переклю­ чатели, логические элементы) преимущественно используются специаль­ ные и численные методы. В ряде случаев удобно воспользоваться кусочно­ линейной аппроксимацией нелинейных характеристик компонентов, кото­ рая сводит нелинейную задачу к расчету множества линейных эквивалент­ ных схем для участков. В нелинейных устройствах с периодическими сиг­ налами используют замену реального сигнала эквивалентным синусои­ дальным с амплитудой зависящей от параметров воздействия (метод экви­ валентных синусоид). При малых сигналах, определяющих основной ре­ жим работы ряда устройств (усилители, фильтры), компонентные соотно­ шения можно считать линейными, и задача анализа упрощается.

Следовательно, большая часть методов анализа электронных уст­ ройств использует теорию линейных электронных цепей. Динамические свойства электронных устройств (цепей) в линейном режиме определяются в форме реакций на тестовые сигналы (типовые воздействия) при заданных начальных условиях.

Во временной области в качестве основных тестовых сигналов при нимают единичное ступенчатое воздействие 1(/) или короткий импульс единичной площади, в пределе стремящийся к 6-импульсу. Реакции уст ройства при нулевых начальных условиях на указанные испытательные сигналы называют соответственно п е р е х о д н о й h(t) и и м п у л ь с ­ н о й w(f) характеристиками. Они позволяют оценивать общие динамиче­ ские свойства электронной цепи (устройства). Например, по переходной характеристике можно определить такие важные параметры цепи, как за паздывание начала процесса, скорость его нарастания, значения выброса и спада. В зависимости от вида входного воздействия и выходной величины (напряжение или ток) переходная функция может иметь или не иметь раз­ мерность.

Применимость к линейным цепям принципа суперпозиции позволяем определить реакцию цепи u(t) на произвольное воздействие V(t) с исполь­

зованием интегралов наложения:	I
t
u(t) = V0h(t) + \V{x) h(t - x)dx или	u(t) = jV(x)- w(t - x)dx.
о	0

В частотной области испытательным сигналом служит синусоидаль­ ное воздействие, которое принято отображать экспоненциальной функцией U(jiù) =UmeJ{tùt+Vf) или комплексной амплитудой Ùm=Ume,%v при заданной частоте со.

Характеристикой цепи в частотной области служит комплексный ко­ эффициент передачи K(j(ù) = Ùm2/Ùml. Зависимость коэффициента передачи от частоты обусловлена наличием частотно-зависимых комплексных со­ противлений индуктивных ZL-j(x£ и емкостных Zc =\J(j(ùC) компонентов. Комплексная передаточная функция, определяемая при заданной нагрузке через отношение комплексных спектров выходного и входного сигналов K{J(Ù) = U2(7CO)/L/,(у'со)- Л^со)^1^, показывает, в какой степени амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала отличаются от спектральных харак­ теристик входного.

В частотной области испытательным сигналом служит синусоидаль­ ная функция, которую принято отображать экспоненциальной функцией ^ ( 7(û) = f/#71e7(tù^v) или комплексной амплитудой Üm=UmeJXV9 если частота со задана неизменной.

Частотные свойства цепи принято отображать с помощью амплитуд­ но-фазовой характеристики (частотного годографа) на комплексной плос-

Рис 2.12. RC цепь (а) и ее характеристики: годограф (б), АЧХ (в), ФЧХ (г)

Комплексный коэффициент передачи определяется соотношением

K(jto) = V(j<t>RC+\).

Годограф при изменении частоты от со =0 до со = оо имеет вид полуокруж­ ности (рис.2.12,6). Более наглядным является описание комплексного ко­ эффициента передачи в виде зависимостей от частоты модуля К(со) и аргу­ мента 0(со),называемых амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиками. Для рассматриваемой RC цепи выражение для

АЧХ имеет вид К(со) = f i/л/со2 + П2,причем на характеристической частоте

Q=1/(ÆC) коэффициент передачи уменьшается в л/2 = 1,41 раз (рис.2.12,в). Соотношение для ФЧХ имеет вид 0(со) = -arctg(co/Q) и на характе­

ристической частоте дает фазовый сдвиг на - п /4 (рис.2.12,г). Амплитудно-частотная характеристика получила наибольшее рас­

пространение при описании цепей в силу простоты ее экспериментального

исследования. Для снятия АЧХ устройства достаточно включить вольт­ метры, которые фиксируют действующие значения входного и выходного напряжений.

Характеристики электронных цепей, исследуемые в широкой полосе частот при больших диапазонах изменения интенсивностей, принято гра­ фически отображать в логарифмическом масштабе L(co)=201g[/C(co)] и на­ зывать л о г а р и ф м и ч е с к и м и а м п л и т у д н о - ч а с т о т н ы м и х а р а к т е р и с т и к а м и (ЛАЧХ). Безразмерной величине Дсо) присвоено наименование Бел. Коэффициент передачи мощности цепи в принятых единицах определяется соотношением Ьъ = lg(P2/P\). Значению коэффици­ ента передачи в 1 Б соответствует отношение мощностей P*i/P\ = 10. Для напряжений соответственно получим / Б(co)=lg(£/2/ U\)2=21g [/Дсо)].

На практике часто используют единицу, равную десятой части Бела (1дБ = ОД Б). В этом случае ЛАЧХ записывают в виде ^ B=201g[A'(co)]. При равенстве входного и выходного напряжений (Ки = U2! U\ = 1) уровень ЛАЧХ будет нулевым (ТдБ = 0). Уровню уменьшения напряжения в

С/2/(/| =1, V2 = 0,707 раз, которому эквивалентно ослабление мощности вдвое (Р21P1=0,5), соответствует / дБ = - ЗдБ, а уменьшение напряжения в 2 и 10 раз приводит к значениям / дБ = - 6дБ и / дБ = - 20дБ.

При построении графиков в логарифмическом масштабе по оси абс­ цисс откладывают значения логарифма отношения текущей частоты к вы­ бранному значению начальной частоты lg(co/coH), однако записывают абсо­ лютные значения частоты со. На практике удобно использовать кусочно­ линейную аппроксимацию ЛАЧХ (замену реальной кривой отрезками прямых линий). Для простых преобразователей такую аппроксимацию можно выполнить на этапе построения ЛАЧХ. Рассматриваемая RC цепь в полосе частот от 0 до Q имеет (co/Q) < 1, что позволяет с небольшой по­ грешностью принять 1+( co/Q )2 = 1 и ЛАЧХ заменить отрезком прямой Цсо) = 0, совпадающей с осью абсцисс. При со > Q справедливо допущение l+(co/Q )2 = (co/Q )2 и выражение ЛАЧХ L( со )= -201g(oo/Q) представляет уравнение прямой с наклоном - 20 дБ/декада. Это означает, что значения ЛАЧХ уменьшаются на 20дБ или модуль коэффициента передачи умень­ шается в 10 раз при изменении частоты в 10 раз (на декаду).

Для линейной цепи комплексный коэффициент передачи позволяет вычислить спектр выходного напряжения U2(J<o)=-K(job)’Ut(jcS) при из­ вестном спектре входного сигнала. Переход к выражению выходного на­ пряжения в функции времени осуществляется с использованием преобра­ зования Фурье:

М О = (1/2*) J[t/,(CÙ) АГ(ш)] •е '(ш'+0,Ло .

— ОС

Трудности перехода во временную область заключаются в аналити­ ческой аппроксимации экспериментально снятой зависимости К(со) и по­

следующем вычислении сложных интегралов. Как правило, интегрирова­ ние выполняется с помощью методов приближенных вычислений или чис­ ленных процедур.

В теории электронных цепей для расчета нестационарных режимов (переходных процессов) применяется операторный метод, базирующийся на одностороннем преобразовании Лапласа, с помощью которого диффе­ ренциальные уравнения для напряжения u{t) или тока i(t) сводятся к алгеб­ раическим уравнениям для изображений величин U(p) или 1(р).

Применение преобразования Лапласа непосредственно к компонент­ ным соотношениям приводит к операторным выражениям для элементов:

•резистивного UR(p) = Rl(p),

•индуктивного UL(p) = рЫ (р)-Ы (0),

•емкостного Uc(p)~I(p)/(pC)+uc(0)i р.

Расчет полученной операторной схемы дает изображения искомых величин, от которых по формулам или с использованием достаточно под­ робных таблиц переходят к искомым функциям времени. Если в рассмат­ риваемой RC цепи (рис.2.12,а) на конденсаторе имеется начальное напря­ жение Uçо, то, построив операторную схему, несложно записать выраже­ ние тока в виде Hp) = [Ul(p )- U co]/(R +\/(pC).

Характеристикой линейной электронной цепи в области комплекс­ ной частоты р является п е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я представляющая собой при нулевых начальных условиях отношение изображений по Лап­ ласу выходной и входной величин:

*(/>)= Передаточную функцию цепи можно записать как отношение полиномов

к (р ) = \Ъпрт+... + kP + h ]/[/>" +... + atp + a0]

или разложения их на простые множители

к & ) = ь [ ( р - ы - ( р - и У 1 ( р - \ ) - - ( Р - К ) 1

Из последнего выражения следует, что линейная система полностью характеризуется коэффициентом b и совокупностью комплексных чисел: нулей Е,т и полюсов Хп , т.е. корней полиномов числителя и знаменателя. Характер динамических процессов в системе определяется расположением полюсов и нулей на комплексной плоскости р.

Для одной цепи все характеристики взаимосвязаны и могут быть по­ лучены одна из другой. Из сопоставления формул преобразований Фурье и Лапласа следуетХ(усо) = Х(р)|^_.ш, т.е. преобразование Лапласа можно

трактовать как представление произвольной функции времени в виде совокупности экспоненциальных функций вида Umeanjiùt или при о < О затухающих синусоидальных функций u(t) = Ume°' sin со/.

При расчете электрических цепей использование преобразования Фурье не имеет преимуществ, поэтому применяют операторный метод, базирующийся на преобразовании Лапласа, для которого существуют подробные таблицы соответствия оригиналов и их изображений.

Передаточная функция К(р) представляет собой преобразование Ла­ пласа импульсной характеристики w(/), что следует из единичного значе­ ния изображения 5-функции. Импульсная функция служит важной харак­ теристикой электрической цепи, поскольку по ее виду судят о свобод­ ных процессах, т.е. о поведении электрического устройства после окон­ чания внешнего воздействия. Передаточную функцию цепи при воздей­ ствии 6-функции с использованием полюсно-нулевого представления можно записать в форме суммы простых дробей:

K(p)=A,/(p-Xl) + ... + A„/(p-‘kn).

Применение обратного преобразования Лапласа дает выражение реакции

цепи во временной области u2(t) = AxeX}t + ...+ Апех,,\ из которого следует,

что полюсы передаточной функции являются корнями характеристическо­ го уравнения цепи.

Линейные системы обладают возможностью передачи сигналов без изменения формы. При этом импульс на выходе u2(t) =au](t- x ) имеет масштабный множитель а и задержку во времени г. Изображение неиска­

женного импульса U2(p) =aUx(p)e~p* позволяет получить передаточную

функцию неискажающей цепи Ки(р) =ае~рт, которая при переходе в час­ тотную область приводит к условиям постоянства АЧХ К(ау) ~а и линей­ ной зависимости ФЧХ 0(со)=- сот во всем частотном диапазоне сигнала.

Ц и ф р о в о е у с т р о й с т в о преобразует входную числовую (им­ пульсную) последовательность V*(kT) с периодом Т в выходную и\кТ). Функционирование линейной цифровой системы с конечной памятью, хранящей ограниченное число отсчетов, можно описать соотношением

п	пг
^ а , и ( к Т - 1 Т ) = ^ Ь , Г { к Т - 1 Т ) ,
1=о	/=0
где bj - коэффициенты, характеризующие алгоритм преобразования.
Приведенное р а з н о с т н о е	у р а в н е н и е с о с т о я н и я циф­

ровой системы записывают в более удобной форме, приняв а0 = 1 и выде­ лив левой части текущий отсчет при / = 0:

и ( к Т ) = b0V \k T ) +... + bmV*(kT - mT) - а,и{кТ - Т ) - ...- а„и{кТ - п Т ) .

Из полученного выражения следует, что выходной отсчет в момеш кТ определяется последовательностью m входных отсчетов, а также после­ довательностью предшествующих (п- 1) выходных импульсов.

Анализ свойств линейных цифровых преобразователей проводится, как и для аналоговых систем, с использованием характеристик, т.е. реак­ ций на простые типовые воздействия во временной и частотной областях.

И м п у л ь с н а я х а р а к т е р и с т и к а представляет собой им­ пульсную (числовую) последовательность на выходе преобразователя при воздействии ô-импульса и нулевых начальных условиях

w*(kT) = u ( k T ) при V*(кТ) - Ь(кТ).

Значения импульсной характеристики можно непосредственно выра­ зить через коэффициенты уравнений цифрового преобразователя, а также записать в виде взвешенной последовательности смещенных 6-импульсов с коэффициентами w\кТ):

w*(/) = j r w( k T ) 6 ( t - k T ) .

к=О

Вцифровых системах процессы во временной области рассчитыва­ ются с помощью дискретной свертки входной последовательности с из­ вестной импульсной характеристикой

u ( k T ) = f^ V * ( lT ) w '{ k - l) T

1=0

Вычисление импульсов выходной последовательности сводится к пере­ множению значений совпадающих во времени отсчетов входного сигнала и импульсной характеристики с последующим сложением полученных произведений.

П е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и е й цифрового устройства называется отношение изображений (z-преобразований) выходной и входной величин:

H '(z ) = U (z)/V (z).

Она может быть записана через коэффициенты, определяющие алгоритм преобразования

пm

= V \ z ) Y Jblz - 1,

i=0	/=0
или представлена в виде отношения полиномов
W \ z ) = U ' ( z ) / x ' ( z )	= B ( z )/A ( z ) ,

где A{z) = ао+ci\z~x+ ..Л а п2 ~”, B(z) = b0+ bxz ‘x+ ...+ femz^”. Разложение полиномов на сомножители

H*(z) = K ( z - z 0l) ( z - z 02) - - - ( z - z 0m) / ( z - Z i ) ( z - z 2) - - - ( z - z n)

приводит к представлению передаточной функции с помощью совокупно­ сти нулей z0|...zom, т.е. корней уравнения B(z) = 0, полюсов zv..zm т. е. кор­ ней уравнения A(z) = 0 и коэффициента K=bQ/ao.

Передаточная функция представляет собой изображение импульсной характеристики Bz-области комплексной переменной:

	H	\ z ) = X w {kT )z	k.
		k~0
К о м п л е к с н ы й		к о э ф ф и ц и е н т	п е р е д а ч и цифрового
преобразователя	//*(усо)	представляет собой отношение спектров вход­
ной и выходной	последовательностей //*(y'(û) = Lf*(yw)/K*(yG)) и может

быть получен из передаточной функции заменой переменных Выражение комплексного коэффициента передачи совпадает с преоб­

разованием Фурье импульсной характеристики цифрового фильтра

Щ] «>)= X w (k T )e J,M

к=-оо

Функция //*(/оо), представляющая собой преобразование Фурье числовой последовательности w\kT), обладает свойством периодичности с часто­ той. Частотная характеристика цифрового преобразователя полностью за­ дана в диапазоне частот от 0 до £2=2л/7’.

Описание цифровых преобразователей в области вещественной час­ тоты со дает математический аппарат для анализа дискретно-аналоговые систем. Описание числовых последовательностей с помощью решетчатых функций применяется при исследовании взаимодействия аналоговых и дискретных устройств. Использование импульсных функций и частотных характеристик обосновано при достаточно большой разрядности аналогоцифрового преобразователя последовательности, когда можно пренебречь нелинейностью его характеристики.

Внутренние процессы в цифровых преобразователях необходимо ис­ следовать при воздействии случайной последовательности двоичных сиг­ налов, приведенной на рис. 2.6,6.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.В чем отличие аналоговых, дискретных и цифровых сигналов?

2.Что отражают амплитудный и фазовый спектры сигналов?

3.Каковы особенности спектра импульсной последовательности?

4.Какие допущения принимаются при кусочно-линейной аппроксимации характе­ ристик биполярного транзистора?

5.Какие факторы влияют на параметры линейной модели биполярного транзистора /

6.Что называют импульсной характеристикой линейного аналогового устройства?

7.Какие способы используются для графического отображения частотных характе ристик устройства?

8.Что понимают под передаточной функцией устройства?

9.Что представляет собой импульсная характеристика цифрового устройства?